Permutations avoiding 1234, 1243, 4231

Proof tree for permutations avoiding 1234, 1243, 4231

Legend

A = Av(0123, 0132, 3120)

B = Av(201, 0123, 0132)

C = Av(012, 021, 3120)

D = Av(012, 021, 201)

E = Av(01, 10)

Equations:
${ F_{0}}={ F_{1}}+{ F_{3}}$
${ F_{3}}={ F_{5}}{ F_{59}}$
${ F_{59}}=x$
${ F_{5}}={ F_{6}}+{ F_{7}}$
${ F_{7}}={ F_{12}}+{ F_{20}}$
${ F_{12}}={ F_{26}}+{ F_{27}}$
${ F_{27}}={ F_{29}}{ F_{59}}$
${ F_{29}}={ F_{109}}+{ F_{33}}$
${ F_{109}}={ F_{114}}+{ F_{115}}$
${ F_{115}}={ F_{105}}+{ F_{106}}+{ F_{107}}$
${ F_{106}}={ F_{109}}{ F_{59}}$
${ F_{105}}={ F_{108}}{ F_{59}}$
${ F_{108}}={ F_{110}}+{ F_{111}}$
${ F_{111}}={ F_{203}}+{ F_{212}}$
${ F_{212}}={ F_{208}}+{ F_{209}}$
${ F_{208}}={ F_{210}}{ F_{59}}$
${ F_{210}}={ F_{141}}+{ F_{212}}$
${ F_{209}}={ F_{181}}{ F_{59}}$
${ F_{203}}={ F_{188}}+{ F_{189}}$
${ F_{188}}={ F_{190}}{ F_{59}}$
${ F_{190}}={ F_{104}}+{ F_{280}}$
${ F_{104}}={ F_{203}}+{ F_{60}}$
${ F_{280}}={ F_{247}}+{ F_{282}}$
${ F_{282}}={ F_{278}}+{ F_{279}}$
${ F_{279}}={ F_{124}}{ F_{59}}$
${ F_{278}}={ F_{280}}{ F_{59}}$
${ F_{189}}={ F_{47}}{ F_{59}}$
${ F_{110}}={ F_{141}}+{ F_{60}}$
${ F_{141}}={ F_{137}}+{ F_{138}}$
${ F_{137}}={ F_{139}}{ F_{59}}$
${ F_{139}}={ F_{141}}+{ F_{60}}$
${ F_{138}}={ F_{183}}{ F_{59}}$
${ F_{107}}={ F_{39}}{ F_{59}}$
${ F_{114}}={ F_{100}}+{ F_{99}}$
${ F_{99}}={ F_{101}}{ F_{59}}$
${ F_{101}}={ F_{102}}+{ F_{57}}$
${ F_{102}}={ F_{114}}+{ F_{203}}$
${ F_{100}}={ F_{13}}{ F_{59}}$
${ F_{33}}={ F_{13}}+{ F_{39}}$
${ F_{39}}={ F_{86}}+{ F_{87}}$
${ F_{87}}={ F_{59}}{ F_{89}}$
${ F_{89}}={ F_{224}}+{ F_{33}}$
${ F_{224}}={ F_{216}}+{ F_{230}}$
${ F_{216}}={ F_{217}}{ F_{59}}$
${ F_{217}}={ F_{219}}+{ F_{310}}$
${ F_{310}}={ F_{119}}+{ F_{309}}$
${ F_{309}}={ F_{310}}{ F_{59}}$
${ F_{219}}={ F_{216}}+{ F_{59}}$
${ F_{230}}={ F_{221}}+{ F_{222}}$
${ F_{221}}={ F_{223}}{ F_{59}}$
${ F_{223}}={ F_{310}}+{ F_{316}}$
${ F_{316}}={ F_{235}}+{ F_{319}}$
${ F_{319}}={ F_{316}}{ F_{59}}$
${ F_{235}}={ F_{236}}{ F_{59}}$
${ F_{236}}={ F_{119}}+{ F_{235}}$
${ F_{222}}={ F_{224}}{ F_{59}}$
${ F_{86}}={ F_{59}}{ F_{88}}$
${ F_{88}}={ F_{90}}+{ F_{91}}$
${ F_{90}}={ F_{183}}+{ F_{42}}$
${ F_{183}}={ F_{119}}+{ F_{131}}$
${ F_{131}}={ F_{132}}{ F_{59}}$
${ F_{132}}={ F_{134}}+{ F_{45}}$
${ F_{134}}={ F_{183}}+{ F_{235}}$
${ F_{45}}={ F_{119}}+{ F_{42}}$
${ F_{91}}={ F_{181}}+{ F_{47}}$
${ F_{181}}={ F_{182}}{ F_{59}}$
${ F_{182}}={ F_{181}}+{ F_{183}}$
${ F_{26}}={ F_{28}}{ F_{59}}$
${ F_{28}}={ F_{32}}+{ F_{7}}$
${ F_{32}}={ F_{37}}+{ F_{38}}$
${ F_{38}}={ F_{70}}+{ F_{71}}$
${ F_{71}}={ F_{59}}{ F_{73}}$
${ F_{73}}={ F_{198}}+{ F_{77}}$
${ F_{77}}={ F_{47}}+{ F_{83}}$
${ F_{83}}={ F_{168}}+{ F_{169}}$
${ F_{169}}={ F_{171}}{ F_{59}}$
${ F_{171}}={ F_{317}}+{ F_{77}}$
${ F_{317}}={ F_{309}}+{ F_{323}}$
${ F_{323}}={ F_{314}}+{ F_{315}}$
${ F_{314}}={ F_{316}}{ F_{59}}$
${ F_{315}}={ F_{317}}{ F_{59}}$
${ F_{168}}={ F_{170}}{ F_{59}}$
${ F_{170}}={ F_{182}}+{ F_{259}}$
${ F_{259}}={ F_{240}}+{ F_{262}}$
${ F_{262}}={ F_{259}}{ F_{59}}$
${ F_{198}}={ F_{203}}+{ F_{204}}$
${ F_{204}}={ F_{194}}+{ F_{195}}+{ F_{196}}$
${ F_{195}}={ F_{198}}{ F_{59}}$
${ F_{196}}={ F_{59}}{ F_{83}}$
${ F_{194}}={ F_{197}}{ F_{59}}$
${ F_{197}}={ F_{199}}+{ F_{200}}$
${ F_{200}}={ F_{212}}+{ F_{292}}$
${ F_{292}}={ F_{301}}+{ F_{302}}$
${ F_{301}}={ F_{289}}{ F_{59}}$
${ F_{289}}={ F_{254}}+{ F_{292}}$
${ F_{302}}={ F_{262}}{ F_{59}}$
${ F_{199}}={ F_{141}}+{ F_{254}}$
${ F_{70}}={ F_{59}}{ F_{72}}$
${ F_{72}}={ F_{154}}+{ F_{32}}$
${ F_{154}}={ F_{143}}+{ F_{157}}$
${ F_{157}}={ F_{152}}+{ F_{153}}$
${ F_{152}}={ F_{154}}{ F_{59}}$
${ F_{153}}={ F_{155}}{ F_{59}}$
${ F_{155}}={ F_{260}}+{ F_{290}}$
${ F_{260}}={ F_{124}}+{ F_{266}}$
${ F_{266}}={ F_{257}}+{ F_{258}}$
${ F_{257}}={ F_{259}}{ F_{59}}$
${ F_{258}}={ F_{260}}{ F_{59}}$
${ F_{290}}={ F_{282}}+{ F_{296}}$
${ F_{296}}={ F_{286}}+{ F_{287}}+{ F_{288}}$
${ F_{287}}={ F_{290}}{ F_{59}}$
${ F_{286}}={ F_{289}}{ F_{59}}$
${ F_{288}}={ F_{266}}{ F_{59}}$
${ F_{143}}={ F_{144}}{ F_{59}}$
${ F_{144}}={ F_{147}}+{ F_{148}}$
${ F_{148}}={ F_{240}}+{ F_{254}}$
${ F_{254}}={ F_{249}}+{ F_{250}}$
${ F_{249}}={ F_{251}}{ F_{59}}$
${ F_{251}}={ F_{247}}+{ F_{254}}$
${ F_{250}}={ F_{240}}{ F_{59}}$
${ F_{240}}={ F_{241}}{ F_{59}}$
${ F_{241}}={ F_{119}}+{ F_{240}}$
${ F_{147}}={ F_{119}}+{ F_{247}}$
${ F_{247}}={ F_{119}}{ F_{59}}$
${ F_{37}}={ F_{55}}+{ F_{63}}$
${ F_{63}}={ F_{59}}{ F_{64}}$
${ F_{64}}={ F_{24}}+{ F_{67}}$
${ F_{67}}={ F_{141}}+{ F_{183}}$
${ F_{24}}={ F_{42}}+{ F_{60}}$
${ F_{20}}={ F_{21}}{ F_{59}}$
${ F_{21}}={ F_{15}}+{ F_{57}}$
${ F_{57}}={ F_{59}}+{ F_{60}}$
${ F_{60}}={ F_{55}}+{ F_{56}}$
${ F_{55}}={ F_{57}}{ F_{59}}$
${ F_{56}}={ F_{42}}{ F_{59}}$
${ F_{15}}={ F_{1}}+{ F_{42}}$
${ F_{1}}=1$
${ F_{42}}={ F_{43}}{ F_{59}}$
${ F_{43}}={ F_{120}}+{ F_{15}}$
${ F_{120}}={ F_{119}}+{ F_{59}}$
${ F_{119}}={ F_{120}}{ F_{59}}$
${ F_{6}}={ F_{1}}+{ F_{13}}$
${ F_{13}}={ F_{14}}{ F_{59}}$
${ F_{14}}={ F_{17}}+{ F_{6}}$
${ F_{17}}={ F_{42}}+{ F_{47}}$
${ F_{47}}={ F_{49}}{ F_{59}}$
${ F_{49}}={ F_{125}}+{ F_{17}}$
${ F_{125}}={ F_{119}}+{ F_{124}}$
${ F_{124}}={ F_{125}}{ F_{59}}$

Coefficients:
$1, 1, 2, 6, 21, 73, 237, 702, 1881, 4577,\ldots$

Minimal polynomial:
$ \left( x-1 \right) ^{8}F \left( x \right) +4{x}^{8}-2{x}^{7}-17{x}^{6}+25{x}^{5}-43{x}^{4}+38{x}^{3}-22{x}^{2}+7x-1$

Generating function:
$-{\frac {4{x}^{8}-2{x}^{7}-17{x}^{6}+25{x}^{5}-43{x}^{4}+38{x}^{3}-22{x}^{2}+7x-1}{ \left( x-1 \right) ^{8}}}$

Recurrence relation:
$5040a \left( n \right) -11{n}^{7}+70{n}^{6}+154{n}^{5}-4340{n}^{4}+20881{n}^{3}-48650{n}^{2}+52056n-25200$
$a \left( 0 \right) =1$
$a \left( 1 \right) =1$
$a \left( 2 \right) =2$
$a \left( 3 \right) =6$
$a \left( 4 \right) =21$
$a \left( 5 \right) =73$
$a \left( 6 \right) =237$
$a \left( 7 \right) =702$
$a \left( 8 \right) =1881$

Closed form:
$\cases{1&$n=0$\cr 5-{\frac {723n}{70}}+{\frac {695{n}^{2}}{72}}-{\frac {2983{n}^{3}}{720}}-{\frac {{n}^{6}}{72}}-{\frac {11{n}^{5}}{360}}+{\frac {31{n}^{4}}{36}}+{\frac {11{n}^{7}}{5040}}&otherwise\cr}$